СВ-Принт

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ (production function) — функ­ция, отображающая связь между физическим объёмом факто­ров производства и физическим объёмом выпуска в процессе производства товаров или услуг. Так как объём выпуска зави­сит от объёма использованных ресурсов, то связь может быть выражена в форме функциональной записи:

Важно подчеркнуть, что факторы расхода могут комбинироваться различными способами для производства одного и того же объёма выпуска. Одни комбинации используют малое количество труда, другие — большое количество труда и малый объём капитала. В физическом выражении технически эффективными являются комбинации, которые используют минимальное количество ресурсов. Экономистов, однако, больше интересуют стоимостные аспекты соотношения «затраты—выпуск» (см. функция затрат), особенно способы, которые позволяют производить данный объём выпуска при наименьших затратах. Эти связи могут быть проанализированы при помощи ИЗОКВАНТ, КАРТЫ ИЗОКВАНТ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ.

Армен Алчиан. Затраты и выпуск(ВЕХИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МЫСЛИ, том второй)А.А.Уолтерс. Производственные функции и функции затрат: эконометрический обзор(ВЕХИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МЫСЛИ, том второй)

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КОББА—ДУГЛАСА (Cobb— Douglas production function) — частный случай соотношения между выпуском продукта и затратами факторов производства (труда и капитала), используемых в производстве этого продукта:

Этот частный вид ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ предполагает, что в условиях эффективной конкуренции на рынках факторов эластичность технического замещения между трудом и капиталом равна единице. Производственная функция Кобба— Дугласа обладает тем свойством, что доли каждого фактора в стоимости продукта постоянны (они соотносятся как α и β), хотя в абсолютном выражении затраты труда и капитала могут изменяться.

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ (production costs) — затраты на превращение факторов производства в конечный выпуск товаров и услуг, стоимость которых превышает стоимость исходных факторов. Затраты на производство продукта включают в себя стоимость сырья, ремонта и эксплуатации оборудования, арендную плату, расходы на освещение и отопление производственных зданий.

См. также производственная функция, функция затрат, Петр Ильич Гребенников. Экономика

А.А.Уолтерс. Производственные функции и функции затрат: эконометрический обзор(ВЕХИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МЫСЛИ, том второй)

ПРОИЗВОДСТВО (production) — соединение фирмой факторов производства (труд, капитал и т. д.) для осуществления выпуска товаров и услуг. Связь между затратами и выпуском изображается производственной функцией (в физическом выражении) и функцией затрат (в стоимостном выражении).

ФУНКЦИЯ ЗАТРАТ (cost function) — функция, которая описывает общую связь расхода факторов производства с объёмом выпуска фирмы. Для того, чтобы определить затраты производства конкретной продукции, нужно знать не только необходимый объём затрат каждого фактора, но и его цену. Функцию затрат можно вывести из производственной функции, используя данные о ценах и факторах производства. В общем виде функция затрат выглядит следующим образом:

действия спроса и предложения на рынках факторов производства.

См. эффективность, изокоста, изокванта.

МИНИМИЗАЦИЯ ЗАТРАТ (cost minimization) — производство данного объёма выпуска с наименьшими затратами путём сочетания расхода факторов с учётом их относительных цен.

См. функция затрат, изокванта, Петр Ильич Гребенников. Экономика

ИЗОКВАНТА (isoquant curve) — кривая, демонстрирующая различные комбинации факторов производства, таких как труд и капитал, которые могут быть использованы для производства данного количества продукции при данном состоянии технологии (при условии, что факторы производства могут замещать друг друга в производственном процессе).

Если изокванта на рис. 40 отображает 100 единиц продукции, производимых за данный период времени, то любая точка этой кривой определяет комбинацию факторов, необходимых для производства 100 единиц продукции. Наклон изокванты отражает замещаемость одного фактора другим в производственном процессе (см. предельная норма технического замещения).

Изокванты имеют отрицательный наклон, поскольку два ресурса могут быть замещены друг другом в процессе производства, так что уменьшение расхода одного из них компенсируется увеличением расхода другого. Изокванты выпуклы в направлении начала координат, так как, хотя ресурсы могут замещаться один другим, они не являются, абсолютными заменителями, так что предельная норма технического замещения фактора X фактором Y убывает при движении по любой изокванте слева направо.

Изокванты имеют много общего с кривыми безразличия: комбинации двух благ приносят одинаковое удовлетворение потребителю. Однако пока не существует способа измерения степени удовлетворения в физических единицах (можно только говорить о «высшей» или «низшей» кривой безразличия). В то же время можно измерить физический объём выпуска и говорить о том, насколько больше объём продукции, соответствующий одной изокванте, по сравнению с объёмом, соответствующим другой.

Изокоста показывает комбинации двух затрачиваемых ресурсов, которые можно приобрести за одинаковую общую сумму денег. Её наклон отражает относительные цены факторов. Точка А, в которой изокванта касается изокосты, означает наиболее дешёвую по стоимости комбинацию факторов, необходимых для производства 100 единиц продукции.

См. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ЛУЧ, ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИЯ ЗАТРАТ.

ПРЕДЕЛЬНАЯ НОРМА ТЕХНИЧЕСКОГО ЗАМЕЩЕНИЯ (marginal rate of technical substitution) — показатель соотношения предельного физического продукта двух факторов производства в производственном процессе, или количество, на которое можно сократить затраты фактора X и поддержать тот же уровень выпуска, заменив его добавочной единицей фактора Y. Эта характеристика производства отображается наклоном изокванты. Стремясь минимизировать затраты, производитель должен добиться равенства соотношения предельного физического продукта двух факторов расхода (наклон изокванты) соотношению цен этих факторов (наклон изокосты).

См. карта изоквант

ИЗОКОСТА (isocost line) — линия, показывающая комбинации факторов производства, которые можно приобрести за одинаковую общую сумму денег.

См. изокванта.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ЛУЧ (process ray) — линия, обозначающая путь, по которому может следовать фирма, изменяющая выпуск при условии, что факторы производства используются в данном производственном процессе в фиксированных пропорциях. На рис. 126 показаны три возможные альтернативы для фирмы, которая может выбирать между тремя производственными процессами — А, В и С, каждый из которых использует капитал и труд в фиксированных пропорциях. Если фирма хочет производить, скажем, 100 единиц продукции за определённый период времени, она может достичь этого в точке d, используя процесс А, или в точке е, используя процесс В, или в точке f, используя процесс С. Однако фирма не может выбирать комбинации факторов расхода на линиях, соединяющих точки d, е, и f, так как такие промежуточные комбинации технически неосуществимы.

См. ИЗОКВАНТА, КАРТА ИЗОКВАНТ, ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ.

КАРТА ИЗОКВАНТ (isoquant шар) — семейство упорядоченных ИЗОКВАНТ, которое графически представляет увеличение объёма выпуска за данный период времени при движении от начала координат в направлении увеличения количеств двух факторов производства, как это показано на рис. 45. Изокванты являются кардиналистскими (количественными) характеристиками, и значения на изоквантах на рис. 45 обозначают абсолютный объём выпуска за данный период времени.

Хотя зачастую возможно замещение в производственном процессе одного ресурса другим, такое замещение не может быть полным. Необходимо некоторое минимальное количество обоих факторов для поддержания производства на определённом уровне. Например, чтобы произвести 300 единиц продукции (рис. 45), необходимо по крайней мере количество VL фактора X и количество UT фактора Y. В точке Т изокванта горизонтальна. Это означает, что в этой точке предельная норма технического замещения фактора X фактором Y равна 0. В то же время в точке L изокванта вертикальна. Это означает, что за этой точкой замещение фактора Y фактором X приведёт к уменьшению объёма выпуска (изокванта удаляется от оси Y).

Боковые линии на рис. 45 ограничивают те участки изоквант, на которых фирмы будут делать выбор комбинаций ресурсов. Верхняя линия соединяет точки, в которых изокванты вертикальны, в то время как нижняя линия соединяет точки, в которых изокванты горизонтальны. Типичные соотношения между изоквантами можно продемонстрировать сечением «профиля» карты вдоль линии MN. Продвигаясь вверх от точки М, можно отметить тот объём продукта, который будет производиться при увеличении количества фактора Y и при данном количестве ОМ фактора X.

При движении вдоль линии MN не только происходит увеличение объёма выпуска, но и изменяется скорость этого увеличения выпуска. На рис. 45 при объёме выпуска ВВ1 увеличение фактора Y приведёт к более чем пропорциональному увеличению объёма выпуска; при объёме выпуска DD1 малое процентное увеличение использования фактора Y приведёт к пропорциональному увеличению объёма выпуска; при объёме выпуска FF1 увеличение использования фактора Y приведёт к менее чем пропорциональному увеличению объёма выпуска. Этот пример носит название «закона соотношения переменных факторов производства»

(см. ОТДАЧА ПЕРЕМЕННОГО ФАКТОРА ПРОИЗВОДСТВА).

Можно прийти к аналогичным результатам, если рассмотреть изменение объёма выпуска при продвижении вдоль линии ОК. Здесь при движении к точке К расстояние между изоквантами уменьшается до тех пор, пока не будет достигнута точка Р. После этой точки расстояние между изоквантами постоянно увеличивается. Вдоль линии ОК увеличивающееся количество переменных факторов X и Y сочетается с фиксированным количеством зданий и оборудования фирмы.

Кривая предельного физического продукта ресурса Y, показанная на рис. 45в, получена путём дифференцирования из кривой общего продукта на рис. 45б. Когда количество используемого фактора Y увеличивается от ОА1 до OD1 , предельный физический продукт растёт. Затем при дальнейшем увеличении фактора Y предельный физический продукт падает, становясь отрицательным, если применяется количество фактора Y, большее, чем OF.

ОТДАЧА ПЕРЕМЕННОГО ФАКТОРА ПРОИЗВОДСТВА (returns to the variable factor input) — в теории предложения короткого периода относительное изменение выпуска в результате изменения используемого количества переменного фактора на заводе заданного (постоянного) размера. В коротком периоде некоторые факторы производства являются переменными,

а остальные — постоянными. Отдельная фирма может изменять свой выпуск, только сочетая большее или меньшее количество переменных факторов с постоянными факторами (т. е. изменяя пропорции, в которых используются факторы в производстве). По мере того как всё большее количество переменного фактора используется в сочетании с заданным количеством постоянного фактора:

(а) первоначально, как показано на рис. 79а, наблюдается возрастающая отдача переменного фактора: выпуск растёт более чем пропорционально увеличению переменного фактора, так что кривая общего физического продукта идёт вверх и предельный физический продукт и средний физический продукт также увеличиваются;

(б) затем наблюдается постоянная отдача, так как увеличение выпуска происходит пропорционально увеличению переменного фактора (предельный физический продукт и средний физический продукт постоянны);

(в) затем наблюдается убывающая отдача переменного фактора (см. рис. 79б), при которой увеличение выпуска менее чем пропорционально увеличению переменного фактора (кривая общего физического продукта теряет наклон, а предельный физический продукт и средний физический продукт уменьшаются);

(г) в конечном счёте может наблюдаться отрицательная отдача, при которой увеличение переменного фактора приводит к падению общего выпуска (кривая общего физического продукта отклоняется вниз, а предельный физический продукт становится отрицательным).

Производственная функция

Производственная функция – зависимость объемов производства от количества и качества имеющихся производственных факторов, выраженная с помощью математической модели. Производственная функция дает возможность выявить оптимальный размер издержек, необходимых для производства некоторой порции товаров. При этом функция всегда предназначается для конкретной технологии – интеграция новых разработок влечет необходимость пересмотра зависимости.

Производственная функция: общий вид и свойства

Для производственных функций характерны следующие свойства:

• Повышение объемов выпуска за счет одного производственного фактора всегда предельно (пример – в одном помещении может работать ограниченное число специалистов).

• Производственные факторы бывают взаимозаменяемыми (человеческие ресурсы заменяются роботами) и взаимодополняемыми (работники нуждаются в инструментах и станках).

В общем виде производственная функция выглядит так:

Q = f (K, M, L, T, N),

где под К понимается капитал (имеющиеся станки), L – человеческие ресурсы, M – траты на сырье и полуфабрикаты, Т – применяемые в производстве технологии, N – предпринимательский талант. Q – объем производства, который зависит от всех вышеперечисленных переменных.

Производственная функция: виды

Особой популярностью пользуются два вида производственных функций: двухфакторная модель и функция Кобба-Дугласа.

Двухфакторная модель рассматривает зависимость объемов выпуска от таких факторов, как издержки на труд и капитал. Соответственно, функция имеет сокращенный вид:

Q = f (L, K)

Для анализа с помощью этого метода часто используются изокванты – прямые, соединяющие все возможные точки сочетаний факторов, позволяющих производить конкретный объем продукции. В результате график, по оси абсцисс которого указываются затраты на труд, по оси ординат – капитал, превращается в карту изоквант, являющуюся графическим выражением производственной двухфакторной модели.

Карта обладает такими свойствами:

• Чем дальше изокванта располагается от нулевой точки, тем больше объем выпуска.

• Если изокванта имеет нисходящий вид, значит, уменьшение использования капитала вызовет повышение издержек на оплату труда при необходимости сохранить объемы выпуска прежними.

• Форма изокванты зависит от возможности заменить капитал дополнительной единицей труда. Количество капитала, необходимое для замещения дополнительной единицы труда, носит название предельная норма замещения.

Функция Кобба-Дугласа предполагает зависимость объема производства от тех же факторов – капитала и затрат на труд. Однако формула имеет несколько иной вид:

Y = AKaLb

где а, b – это постоянные значения (константы). Если сумма констант равна единице, говорят о постоянном эффекте масштаба. Важно отметить, что постоянные а и b могут принимать только положительные значения.

Формула Кобба-Дугласа может корректироваться при необходимости учесть дополнительные факторы. Например, если нужно включить в расчет земельные ресурсы, добавляется одна переменная N и одна константа y. Формула обретает вид:

Y = AKaLbNy

Нестандартные изокванты

Изокванты могут иметь нестандартные конфигурации:

• При совершенной взаимозаменяемости ресурсов. Тогда объем может быть получен за счет использования лишь одного фактора: труда или капитала.

• При фиксированной структуре. Для выпуска требуемого объема продукции необходимо задействовать оба ресурса, притом в фиксированных пропорциях.

• При возможности действовать несколькими методами.

Линейная и Кобба-Дугласа производственные функции

На практике при моделировании реальных производств чаще всего используют два вида производственных функций: линейная и Кобба-Дугласа.
Линейная производственная функция имеет вид:

Она строится в случаях, когда объем выпуска пропорционален затратам. Однако данная функция не удовлетворяет первому и третьему требованиямк производственным функциям, поэтому ее можно использовать для приближения реальных функций на небольших локальных участках изменения их аргументов (см. рисунок).

Для выполнения второго требования необходимо выполнение условий

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Для выполнения всех требований к производственным функциям необходимо выполнение условий:

Найдем средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены для линейной и Кобба-Дугласа производственных функций.

Для линейной функции будет:

Таким образом, коэффициенты а1 и а2 линейной производственной функции имеют смысл предельных производительностей и их можно вычислять по формулам:

Для производственной функции Кобба-Дугласа будет:

Таким образом, коэффициенты а1 и а2 производственной функции Кобба-Дугласа имеют смысл частных эластичностей и их можно вычислять по формулам:

Задача 1. Некоторое предприятие, затрачивая для производства 65 единиц материальных затрат и 17 трудовых, выпускало 120 единиц продукции. В результате расширения и увеличении материальных затрат до 68 единиц выпуск возрос до 124 единиц, а при увеличении трудозатрат до 19 единиц выпуск вырос до 127 единиц. Составить линейную производственную функцию и функцию Кобба-Дугласа.

Решение.

Записав для удобства исходные данные в виде таблицы и рассчитываем параметры производственных функций.

Линейная функция y=a1x1+a2x2+b .

· Для нахождения параметров а1 и а2 используем формулы :
Получаем y=(4/3)x1+(3/2)x2+b .

В итоге получаем линейную производственную функцию

Производственная функция Кобба-Дугласа

Назначение производственной функции

Определение 1

Производство с точки зрения экономики представляет собой процесс применения технологий и ресурсов для получения продуктов, предназначенных для продажи.

Таким образом, это процесс создания товара и услуги, которая обладает определенной полезностью для покупателей. Любая деятельность по производству товаров и услуг является деятельностью направленной на удовлетворения потребностей отдельных индивидов или общества в целом.

Соотношение платежеспособного спроса на товары и предложения определяет цену товара или услуги. Количественной характеристикой предложения или объема производства и стоимости товаров является производственная функция. Производственный процесс оказывает прямое влияние на благосостояние общества в целом: чем выше степень удовлетворения индивидуальных и общественных потребностей и удельный вес среднего класса в общем численности населения, тем выше уровень национального благосостояния и развития.

Задача производственной функции состоит в том, чтобы объяснить рост благосостояния общества в процессе выпуска товаров и услуг.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Функция Кобба-Дугласа в системе производственных функций

Замечание 1

Значение производственных функций выражается в создании экономико-математических моделей, характеризующих зависимость объема производства от его различных факторов или их соотношения в условиях национального хозяйства.

Эти модели включают в себя такие показатели как объем производства в натуральном или стоимостном выражении, затраченные объемы ресурсов (факторов производства).

Различают две разновидности производственных функций:

• во-первых, однофакторные, устанавливающие зависимость объема производства от одного фактора. К этой разновидности относятся линейная, параболическая, степенная и показательная функции;
• во-вторых, двухфакторные устанавливающие зависимость объема производства от соотношения двух факторов. К этой разновидности относятся функции Кобба-Дугласа, Леонтьева, Солоу, Аллена.

Особенности производственной функции Кобба-Дугласа

В качестве двух основных факторов производства выступают капитал и труд. Определенная пропорциональность их сочетания создает условия для получения продукта. Назначение производственной функции Кобба-Дугласа состоит в том, чтобы отражать технологическое соотношение объема труда и капитала, необходимое для производства того или иного товара в необходимом количестве.

Данная производственная функция является двухфакторной. Впервые ее предложил шведский экономист Кнут Векселль, но статистическая проверка была выполнена в период с 1927 по 1947 год двумя учеными – Чарльзом Коббом и Полом Дугласом (в 1928 году вышла их работа под названием «Теория производства»). Именно фамилии этих ученых и дали название производственной функции.

Также термин «производственная функция Кобба-Дугласа» в узком смысле применяется для обозначения постоянной отдачи от масштаба.

Производственная функция, разработанная Коббом и Дугласом, представляет собой первую функцию агрегированного производства. Ее применение позволило осуществлять моделирование не только мелкомасштабных процессов, но и целых отраслей экономики. Статистическое подтверждение данной функции стало началом нового этапа макроэкономического развития, позволяющего дать оценку эффективности производства на уровне национального хозяйства.

Формула производственной функции Кобба-Дугласа

В формуле производственной функции Кобба-Дугласа отражается зависимость объем производства определенного товара от сочетания двух факторов производства – труда и капитала. В общем виде формула имеет следующий вид:

$Q = A • L^α • K^β$, где:

• $Q$ – показатель объема производства, характеризующий реальную стоимость товаров и услуг, произведенных в определенный период времени;
• $A$ – общий показатель технологической продуктивности факторов. Этот показатель является наиболее трудным для определения и предусматривает с определенным уровнем погрешности возможность несовершенства оценки вклада труда и капитала, а также влияние иных факторов;
• $L$ – затраты труда в производство определенного объема продукции, выражающиеся в количестве человеко-часов, отработанных всеми работниками за указанный период времени;
• $K$ – затраты вложенного капитала в производство определенного объема продукции, выражающиеся в реальной стоимости оборудования и машин, используемых в производстве;
• $α$ – технологическая эластичность труда;
• $β$ – технологическая эластичность капитала.

Основу данной формулы составляют статистические расчеты, свидетельствующие о том, что для развитых стран характерны постоянные доли вкладов труда и капитала на протяжении длительного времени. Однако в настоящее время данное утверждение подвергается сомнению.

Эластичность факторов производства в производственной функции Кобба-Дугласа

Важнейшими показателя производственной функции Кобба-Дугласа являются показатели эластичности факторов производства, которые отражают влияние изменения их соотношения на физический объем производства при иных равных условиях.

Возможны три варианта значений, принимаемых коэффициентами эластичности в рамках формулы:

• $α + β = 1$, данное соотношение характеризует постоянную отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет на те же 100%, то есть в два раза. производственная функция является линейно однородной;
• $α + β > 1$, данное соотношение характеризует возрастающую отдачу от масштаба, например, при росте затраченного труда и капитала на 100%, объем производства возрастет, допустим, на 120%, то есть более чем в два раза;
• $α + β$

Производственная функция Кобба-Дугласа описывает взаимосвязь валового внутреннего продукта Y с объемом производственных фондов (капитала) K и объемом занятых в производстве трудовых ресурсов L: Y= A Kα Lβ Здесь A – коэффициент нейтрального технического прогресса, α и β – коэффициенты эластичности валового внутреннего продукта по капитальным и трудовым затратам.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для анализа производственной функции Кобба-Дугласа:

• нахождение средней фондоотдачи и средней производительности труда, вычисление предельной фондоотдачи и предельной производительности труда;
• расчет эластичности продукта и эластичности масштаба производства;
• определение предельной нормы замещения факторов производства, построение изоклины.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Полученное решение сохраняется в файле MS Word. Y= A Kα Lβ

Свойства производственной функции

1. Производственная функция должна задаваться положительно определенной, дважды дифференцируемой по всем своим аргументам функцией.
2. Производственная функция обращается в нуль, если отсутствует хотя бы один из ресурсов x1, x2, … ,xn.
   Невозможно полностью заменить один фактор производства комбинацией других факторов. Возможно лишь частичное замещение одного фактора другими в некоторой ограниченной области.
3. С увеличением любого из ресурсов объем производства возрастает dY/dxi.
4. При увеличении любого из ресурсов предельная эффективность является убывающей функцией.
5. Производство должно обладать свойством масштабируемости: при одновременном увеличении всех затрат в λ раз количество произведенного продукта также должно увеличиться в λ раз.

Пример. Производственные функции, обладающие свойствами 2 – 5, называются неоклассическими.
Y = 2.248K0.404L0.803

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AYK равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:
Средняя производительность труда AYL равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда L:
Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:
Предельную производительность труда, или предельный продукт труда, MYL определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:
Эластичность продукта по фактору.
Коэффициентом эластичности продукта по i-фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i-фактора на 1%.
Эластичность по i-фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна εK = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна εL = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства.
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ :
AYλ = λ0.2072.248K0.404L0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:
MYλ = 0.207 λ0.2072.248K0.404L0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:
Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства.
Предельную норму замещения i-фактора производства j-фактором Mij определим соотношением:
Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде: RSTK,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде: RSTL,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i-го фактора производства j-м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988MLK • L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений MLK = 5 и MLK = 2.

Рис. Изокванты и изоклины для производственной функции Y = 2.248K0.404L0.803
Приведенный рисунок наглядно показывает, что движение вдоль линии изокванты возможно лишь при изменении технологии производства, которая сопровождается изменением фондовооруженности занятых в производстве.