Функция предельного дохода имеет вид: общие величины выручки и издержек

Содержание

Типовые задачи с решениями. № 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли
Примение аналитическое геометрии и математического анализа в экономики (стр. 2 )
Общие, средние и предельные величины выручки и издержек
- Похожие работы
4. Понятие дохода. Общий, средний и предельный доход
5. Прибыль фирмы: понятие и виды

Типовые задачи с решениями. № 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли

№ 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли, если функция общих затрат имеет вид: TC = 200 + 60Q + 1,5Q2. Функция спроса на продукцию монополии: Q = 240 – 2P.

Почему Q не совпадает при нахождении максимум прибыли и максимум выручки фирмы?

Решение:

Условие максимизации прибыли монополии MC = MR.

MC = TC’(Q) = 60 + 3Q;

Условие максимизации выручки монополии: MR = 0. Тогда: 120 – Q = 0; Q = 120 ед. P = 60 ден.ед.

πmax = TR – TC = 15?112,5 – (200 + 60?15 + 1,5?152) = 250 ден.ед.

Несовпадение объема выпуска при максимизации прибыли и выручки легко объяснить геометрически: максимизация предполагает равенство тангенсов углов наклона касательных к соответствующим функциям. При максимизации прибыли – это касательные к функциям выручки и затрат, а при максимизации выручки – угол наклона касательной к функции выручки равен нулю.

№ 2. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, продавая 10 ед. продукции по цене 10 ден. ед. Функция общих затрат монополии TC = 4Q + 0,2Q2. На сколько сократиться объем продаж, если с каждой проданной единицы продукции взимать налог в размере 4 ден. ед.?

Решение:

Предельные затраты монополии после включения в них налога примут вид: MC = 8 + 0,4Q. Тогда оптимум монополии в условиях налога будет иметь вид:

№3. Монополия, максимизирующая прибыль, производит продукцию при неизменных средних затратах и продает ее на рынке с линейным спросом. На сколько единиц изменится выпуск монополии, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.?

Решение:

1) Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

2) Увеличение объема спроса при каждой цене на 30 ед. означает, что график функции спроса сдвигается по оси Q на 30 ед. без изменения наклона. Следовательно, график предельного дохода MR сдвинется по оси Q на 15 ед. также без изменения наклона.

3) Точка Курно (MR = MC) сдвинется по графику MC на 15 ед., а следовательно и её координата по оси Q, определяющая выпуск монополии, тоже сдвинется на 15 ед.

Ответ: DQ = 15.

№4. Рыночный спрос, отображаемый функцией QD = 180 – 3P, удовлетворяет монополия, которая производит продукцию с неизменными средними затратами. Стремясь к достижению максимума прибыли, монополия установила цену Р = 40.

а) Определите объем продаж и цену, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.

б) Определите прибыль монополии при указанном изменении спроса.

Решение:

2) При функции спроса Q1D = 180 – 3P и цене Р1 = 40 объем продаж монополии составляет Qм1 = 180 – 340 = 60 ед. Функция предельного дохода при этом выглядит как MR1 = 60 – 2Q/3. Предельный доход MR1 = 60 – 260/3 = 20. Следовательно, предельные затраты монополии MC = 20 = Const.

3) Увеличение спроса на 30 ед. при каждой цене означает изменение функции спроса до вида Q2D = 210 – 3P. Функция предельного дохода примет при этом вид MR2 = 70 – 2Q/3. Из условия максимизации прибыли MR = MC следует 70 – 2Q/3 = 20, отсюда выпуск монополии составит Qм2 = 75 ед. Цена при этом в соответствии с новой функцией спроса будет P2 = 70 – 75/3 = 45.

4) Для нахождения прибыли необходимо выразить функцию общих затрат монополии. Поскольку AC = MC = 20, то общие затраты монополии выглядят TC = ACQ = 20Q. Следовательно, прибыль монополии будет П = 4575 – 2075 = 1875 д.е.

Ответ: а) Q = 75, P = 45; б) П = 1875.

№6. Максимизирующая прибыль монополия с функцией затрат TC = 40 + 10Q + 0,25Q2 может продавать свою продукцию на отечественном рынке, спрос на котором отображается функцией q1D = 60 – P1, и на мировом рынке по цене P2 = 30.

Определите объем продаж на обоих рынках, цену на отечественном рынке и прибыль монополии.

Решение:

Объемы продаж монополии на обоих рынках определяются из условия максимизации прибыли при сегментации рынка: MR1(q1) = MR2(q2) = MC(Q), где Q = q1 + q2 . Предельный доход с отечественного рынка MR1 = 60 – 2 q1 . Цена на мировом рынке является для монополии внешне заданной, поэтому MR2 = P2 = 30. Предельные затраты монополии выглядят MC = 10 + 0,5Q.

Отсюда находим q1 = 15 и Q = 40, следовательно объем продаж на мировом рынке q2 = 25. Цена на отечественном рынке будет P1 = 60 – 15 = 45. Прибыль монополии находится как разница между суммой выручки с обоих рынков и общими затратами монополии: П = (4515 + 3025) – (40 + 1040 + 0,25402) = 585 д.е.

Ответ: q1 = 15, q2 = 25, P1 = 45, П = 585.

№7. Спрос на товар отображается линейной функцией, а технология его производства – функцией Q = АLaK1–a. На рынке этого товара совершенная конкуренция сменилась монополией, максимизирующей прибыль. В результате цена товара повысилась на 2 ден. ед., а объем продаж сократился на 100 ед. Насколько ден. ед. сократились излишки потребителей?

Решение:

1) Для данной производственной функции коэффициенты эластичности выпуска по труду и по капиталу eL = a, eK = 1- a. Сумма этих коэффициентов eL + eK = 1 означает, что данной технологии присуща постоянная отдача от масштаба, а следовательно – долгосрочные средние затраты постоянны.

2) Постоянные средние затраты означают, что функция общих затрат при данной технологии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

3) Функция отраслевого предложения при совершенной конкуренции совпадает с функцией предельных затрат при монополизации отрасли.

4) Изменение излишков покупателей определяется графически как площадь трапеции, представляющей собой разность между излишками покупателей при совершенной конкуренции и при монополии.

Ответ: DRпок = 300

№8. При линейном рыночном спросе монополия достигает максимума прибыли с предельными затратами MC = 20 и эластичностью спроса по цене eD = -3. Для полного удовлетворения потребностей в товаре, производимом монополией, требуется 60 ед. Определите объем продаж, цену на рынке монополии и излишки покупателей продукции монополии.

Решение:

Ответ: Q = 15, P = 30, Rпок = 75

№ 9. В отрасли работают 10 фирм с одинаковыми функциями затрат TCi = 4 + 2qi + 0,5 . Отраслевой спрос задан функцией: QD = 52 – 2P. Собственник одной из фирм предложил своим конкурентам передать ему все предприятия, обещая за это выплачивать им регулярный доход, в 2 раза превышающий получаемую ими прибыль.

1. Насколько возрастет прибыль инициатора монополизации отрасли, если его предложение будет принято?

2. Насколько сократятся излишки потребителей?

Решение:

1. Определим функцию предложения отдельной фирмы 2 + qi = P Þ = –2 + P.

Тогда совместное предложение 10 фирм:

В отрасли установится равновесие при:

– 20 +10Р = 52 – 2Р Þ P =6; Q = 40; qi =4; p = 6×4 – 4 – 2×4 – 0,5×16 = 4.

Прибыль монополиста:

p = TR – TC = 329,33 – 107,4 = 221,9

2. Излишки потребителей в результате монополизации отрасли сократились с 400 до 119 ден. ед.

№ 10. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед. продукции по цене 24 ден. ед.

Функция общих затрат монополии:

TC = 100 + 4Q + 0,25 Q2.

1. Насколько возрастет цена, если с каждой единицы товара будет взиматься налог в размере 7 ден. ед.?

2. Насколько изменится прибыль монополии до уплаты акциза?

3. Какова сумма получаемого налога?

4. Насколько сократятся излишки потребителей?

5. Насколько возрастет объем продаж, если при наличии указанного налога потребители при каждой цене будут спрашивать на 7 ед. товара больше?

Решение:

1. Определим значение eD и выведем функцию отраслевого спроса:

Q = 8; P = 27, то есть цена возросла на 3 ден. ед.

2. В исходных условиях p = 24 × 10 – 100 – 40 – 25 = 75. После введения акциза p = 27 × 8 – 100 – 32 – 16 = 68. Таким образом, прибыль уменьшилась на 7 ден. ед.

3. Сумма налога: (8×7) = 56 ден. ед.

№ 11. Монополия может продавать продукцию на двух сегментах рынка с различной эластичностью спроса:

= 160 – P1; = 160 – 2P2. Ее функция общих затрат TC = 10 + 12Q + 0,5Q2.

1. При каких ценах на каждом из сегментов рынка монополия получит максимум прибыли?

2. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов в случае запрета ценовой дискриминации?

3. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов при запрете ценовой дискриминации, если бы ее затраты были в 2 раза меньше?

Решение:

1. Условие максимизации прибыли при осуществлении ценовой дискриминации третьей степени следующее:

Оптимальные цены на сегментах рынка:

P1 = 160 – 45,6 = 114,4; P2 = 80 – 0,5 × 11,2 = 74,4.

2. Для определения условий достижения максимума прибыли при запрете ценовой дискриминации выведем функцию суммарного спроса:

Соответственно,

В этом случае линия MC = 12 + Q пересекает MR в интервале 0 < Q £ 80; выпуск и цена определяются из равенства 160 – 2Q = 12 + Q Þ Q = 148/3; P = 332/3. Таким образом, в случае запрещения ценовой дискриминации на втором сегменте рынка продукция продаваться не будет.

3. Теперь кривая предельных затрат MC = 6 + 0,5Q пересекает ломаную MR два раза:

160 – 2Q = 6 + 0,5Q Þ Q = 61,6; P = 98,4; p = 98,4 × 61,6 – 5 – 6 × 61,6 – 0,5 × 61,62 = 3789,56;

320/3 – 2Q/3 = 6 + 0,5Q Þ Q = 86,3; Psup> = 77,9; p = 77,9×86,3 – 5 – 6×86,3 – 0,5×86,32 = 2476,13.

Следовательно, на втором сегменте рынка продукция опять продаваться не будет.

Рис. 4.1. Ценовая дискриминация третьей степени

№ 12. Спрос на продукцию отображается функцией QD = 140 – 4P. Общие затраты на ее производство типичной фирмы: TC = 100 + 10Q + Q2. Продукция продается на рынке совершенной конкуренции в длительном периоде. Во сколько раз должны снизиться переменные затраты, чтобы при переходе от совершенной конкуренции к монополии цена не изменилась?

Решение:

В длительном периоде при совершенной конкуренции цена установится на уровне минимума средних затрат. Поскольку:

, то . Значит, каждая фирма-конкурент будет выпускать 10 единиц продукции, АС = Р = 30. При такой цене объем рыночного спроса равен 20 ед. Монополия, максимизирующая прибыль, выберет сочетание Р = 30; Q = 20, если при этом предельная выручка равна предельным затратам. Поскольку MR = 35 – 0,5×20 = 25, то производная от переменных затрат тоже должна быть равна 25: (10 + 2×20)/x = 25 ® x = 2; следовательно, переменные затраты должны быть в 2 раза ниже, то есть общие затраты TC = 100 + 5Q + 0,5Q2

№ 13. В данный момент спрос на продукцию монополистического конкурента отображается функцией , а общие затраты – .

Изменение числа конкурентов в отрасли смещает кривую спроса на продукцию фирмы без изменения ее наклона. Насколько сократится выпуск данной фирмы в состоянии длительного равновесия по сравнению с текущим моментом?

Решение:

Цена в исходных условиях выводится из равенства MR = MC: 220 – 8Q = 40 + Q ® Q = 20; P = 140.

В длительном периоде линия отраслевого спроса станет касательной к кривой средних затрат (АС = Р) и сохранится равенство MR = MC. Из системы этих двух равенств определяются запретительная цена длительного периода (обозначим ее x) и выпуск:

Следовательно, выпуск фирмы сократится вдвое.

Рис. 4.2 Монополистический конкурент в коротком и длительном периодах

№14. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC = 80 + 5Q в состоянии длительного равновесия продает свой товар по цене 13 ден. ед. Определите эластичность спроса по цене и излишки покупателей данного товара, если функция спроса линейна.

Решение:

Для монополистического конкурента в длительном периоде должны выполняться два условия: MR = MC (1) и P = AC (2).

1) Из первого условия и соотношения MR = P(1 + 1/ eD) получаем 5 = 13(1 + 1/ eD). Отсюда находим эластичность спроса eD = -1,625.

2) Из второго условия получаем 13 = 80/Q + 5, откуда получаем объем продаж на рынке Q = 10.

Ответ: eD = -1,625; Rпок=40.

№ 15. Отраслевой спрос задан функцией P = 50 – 0,25Q; в отрасли работают две максимизирующие прибыль фирмы I иII со следующими функциями затрат: TCI = 10 + 0,15q2I и TCII= 25 + 10qII. Какая установится цена в соответствии с: а) моделью Курно; б) моделью Штакельберга; в) картельным соглашением?

Решение

а) Выведем уравнение реакции для фирмы I. Ее прибыль pI = 50qI – 0,25q2I – 0,25qIqII – 10 – 0,15q2I достигает максимума при 50 – 0,8qI – 0,25qII = 0. Поэтому уравнение реакции фирмы I имеет следующий вид:

qI = 62,5 – 0,3125 qII.

Прибыль фирмы II pII = 50qII – 0,25q2II – 0,25qIqII – 25 – 10qII и достигает максимума при 40 – 0,25qI – 0,5qII = 0. Отсюда выводится ее уравнение реакции: qII = 80 – 0,5 qI.

Если фирмы ведут себя как равноправные конкуренты, то равновесные значения цены и объемов предложения определятся из следующей системы уравнений:

В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно будут:

pI = 24,5×44,44 – 10 – 0,15×44,442 = 780,4;

pII = 24,5×57,78 – 25 – 10×57,78 = 809,9;

б) пусть фирма I выступает в роли лидера, а фирма II – последователя. Тогда прибыль фирмы Iс учетом уравнения реакции фирмы II будет:

pI = 50qI – 0,25q2I – 0,25qI(80 – 0,5qI) – 10 – 0,15q2I = 30qI – 0,275q2I – 10.

Она достигает максимума при 30 – 0,55qI = 0.

Отсюда:

qI = 54,54; qII = 80 – 0,5 × 54,54 = 52,7;

P = 50 – 0,25(54,54 + 52,7) = 23,2;

pI = 23,2×54,54 – 10 – 0,15 × 54,542 = 809;

pII = 23,2×52,7 – 25 – 527 = 529.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы II ее прибыль снизилась, а фирмы I — возросла.

В случае лидерства фирмы II ее прибыль:

pII = 50qII – 0,25q2II – 0,25qII(62,5 – 0,3125qII) – 25 – 10qII = 24,4qII – 0,17q2II – 25

становится максимальной при 24,4 – 0,34qII = 0 Þ qII = 70,9. Тогда

qI = 62,5 – 0,3125×70,9 = 40,3;

P = 50 – 0,25(40,3 + 70,9) = 22,2;

pI = 22,2×40,3 – 10 – 0,15×40,32 = 641;

pII = 22,2×70,9 – 25 – 709 = 840;

в) прибыль картеля определяется по формуле:

pк = (50 – 0,25qI – 0,25qII)×(qI + qII) – 10 – 0,15q2I – 25 – 10qII =

= 50qI – 0,4q2I – 0,5qIqII + 40qII – 0,25q2II – 35.

Она принимает максимальное значение при:

Решив эту систему уравнений найдем:

qI = 33,3; qII = 46,7; Q = 80; P = 30; pI = 823; pII = 908.

Рис. 4.3. Зависимость конъюнктуры рынка от типа поведения дуополистов

№ 16. В отрасли функционируют 80 мелких фирм с одинаковыми функциями затрат TCi = 2 + 8 и еще одна крупная фирма, выступающая в роли лидера, с функцией затрат TCл = 20 + 0,275 . Отраслевой спрос представлен функцией QD = 256 – 3P. Какая цена сложится на рынке и как он будет поделен между лидером и аутсайдерами?

Решение:

Поскольку для аутсайдеров цена является экзогенным параметром, то условием максимизации прибыли для них служит равенство MCi = P. Выведем из него функцию предложения отдельного аутсайдера: 16qi = P Þ = P/16. Тогда суммарная функция предложения аутсайдеров = 80P/16 = 5P. Теперь определим функцию спроса на продукцию лидера как разность между отраслевым спросом и предложением аутсайдеров: = QD – = 256 – 3P – 5P = 256 – 8P. В соответствии с этой функцией, предельная выручка MRл = 32 – 0,25Qл. Прибыль лидера максимальна при MRл = MCл:

32 – 0,25Qл = 0,55Qл Þ Qл = 40; P = 32 – 0,125×40 = 27.

По такой цене аутсайдеры предложат 5 × 27 = 135 ед. продукции. Объем спроса составит (256 – 3 × 27) = 175; таким образом, 22,8% спроса удовлетворит лидер и 77,2% – аутсайдеры.

Рис. 4.4. Ценообразование за лидером

№17. Рыночный спрос отображается функцией QD = 90 – 2P. Товар на рынке продают одна крупная фирма, выступающая в роли ценового лидера, и несколько мелких фирм, совокупное предложение которых отображается функцией QaS = –10 + 2P.

Определите цену на рынке, совокупный объем предложения аутсайдеров и излишек покупателей, если крупная фирма захочет максимизировать свою выручку?

Решение:

1) Функция спроса на продукцию лидера определяется как разность между отраслевым спросом и совокупным предложением аутсайдеров: QЛD = QD – QаS= (90 – 2P) – (-10 + 2P) = 100 – 4P. Следовательно, функция предельного дохода лидера выглядит MRЛ = 25 – qЛ/2. По условию максимизации выручки лидера 25 – qЛ/2 = 0 находим объем продаж лидера qЛ = 50. Лидер, как монополист на своей доле рынка, установит цену в соответствии с функцией спроса на свою продукцию: P = 25 – 50/4 = 12,5. Для аутсайдеров полученная цена – внешне заданная; ориентируясь на неё, они предложат QaS = — 10 + 212,5 = 15 ед. продукции.

2) Общий объем продаж на рынке QD= 50 + 15 = 65 ед. Излишки покупателя находятся графически в соответствии с отраслевой функцией спроса.

Ответ: P = 12,5; QaS = 15; Rпок = 1056,25.

№18. На рынке с отраслевым спросом QD = 100 – 2P установилась монопольная цена вследствие того, что продавцы образовали картель с общими затратами TC = 72 + 4Q. После того как руководству картеля стало известно, что еще одна фирма с такими же общими затратами намеревается войти в отрасль, картель решил снизить цену настолько, чтобы у потенциального конкурента исчезло желание входить в отрасль.

1. Какую максимальную цену может установить картель в этой ситуации?

2. Какой минимальной суммой прибыли придется поступиться картелю?

Решение:

1. Искомая цена должна быть такой, чтобы остаточный спрос (неудовлетворенная часть рыночного спроса) оказался ниже кривой средних затрат (PDост £ AC). Для этого к кривой средних затрат нужно провести касательную, параллельную линии рыночного спроса. Поскольку касательная имеет общую точку с кривой AC и в точке касания наклон обоих линий одинаковый, то искомая цена определяется из решения системы уравнений

Функция остаточного спроса QD = 32 – 2P лежит ниже кривой АС.

2. Определим прибыль картеля до появления угрозы потенциального конкурента:

50 – Q = 4 ® Q = 46; Р = 27; p = 27×46 – 72 – 4 ×46 = 986

и при лимитной цене: 16×68 – 72 – 4×68 = 744; следовательно, Dp = 242.

Рис. 4.5. Лимитная цена картеля

№ 19. В регионе имеется единственное овощехранилище, закупающее картофель у 50 фермеров, выращивающих картофель с одинаковыми затратами TCi = 5 + 0,25q2i, где qi – количество выращенного картофеля i-м фермером. Хранилище сортирует и фасует картофель по технологии, отображаемой производственной функцией Qf = 16Q0,5, где Qf – количество расфасованного картофеля; Q = Sqi – количество закупленного картофеля. Определите закупочную цену картофеля при стремлении овощехранилища к максимуму прибыли, если: а) оно может продавать любое количество картофеля по фиксированной цене Pf = 20; б) спрос на фасованный картофель отображается функцией .

Решение:

а) Чтобы получить функцию затрат овощехранилища, нужно вывести функцию цены предложения картофеля. Функция предложения каждого фермера . Следовательно, рыночное предложение QS = 100P, соответственно PS = Q/100. Тогда общие затраты TCxp = 0,01Q2, а прибыль pхр = 20×16Q0,5 – 0,01Q2. Она достигает максимума при Q = 400. Такое количество картофеля можно закупить по цене PS = 400/100 = 4;

б) определим выручку и прибыль овощехранилища:

Pf Qf = (42 – 0,1Qf)Qf = (42 – 0,1×16Q0,5)×16Q0,5.

pхр = (42 – 0,1×16Q0,5)×16Q0,5 – 0,01Q2.

Прибыль достигает максимума при Q = 140. Цена предложения такого количества PS = 140/100 = 1,4.

P×MP

MR×MP

MCмонопс.

Рис. 4.6. Цена монопсонии

№20. В городе имеется единственный молокозавод, закупающий молоко у двух групп фермеров, различающихся затратами на литр молока стандартной жирности: и , где qi – количество молока произведенного одним фермером i –й группы. В первой группе 30 фермеров, во второй – 20. Молокозавод обрабатывает молоко по технологии, отображаемой производственной функцией Qu = 8Q0,5, где Qu – количество пакетов молока; Q = Sqi – количество закупленного молока, и может продавать любое количество молока по фиксированной цене Pu = 10. При закупке сырья молокозавод может проводить ценовую дискриминацию.

1. По какой цене молокозавод должен закупать молоко у каждой группы фермеров для максимизации своей прибыли?

2. Какую цену установил бы молокозавод, если бы нельзя было проводить ценовую дискриминацию?

Решение:

1. Выведем функции предложения каждой группы фермеров; эти функции для молокозавода являются функциями средних затрат при закупке молока у соответствующей группы фермеров:

Прибыль завода есть разность между выручкой и общими затратами:

Она достигает максимума при:

У первой группы фермеров такое количество молока можно купить по цене 2 + 60/60 = 3, а у второй – по 40/20 = 2 ден. ед.

Рис. 4.7. Ценовая дискриминация монопсонии

2. В этом случае функция предложения молока имеет вид:

Соответственно функция цены предложения (функция средних затрат завода): .

Прибыль завода:

Она достигает максимума при:

Такое количество молока можно купить за 1,5 + 100/80 = 2,75 ден. ед. По такой цене первая группа фермеров предложит 55, а вторая – 45 литров.

Рис. 4.8. Единая цена монопсонии на двух сегментах рынка

№ 21. Известны функция спроса на продукцию монополистического конкурента QA = 30 – 5PA + 2 PB и функция затрат TCA = 24 +3QA. Определить цены двух благ после установления отраслевого равновесия в длительном периоде.

Решение:

Поскольку рынок монополистической конкуренции в длительном периоде, то равновесие фирмы будет характеризоваться равенствами: ACA = PA, MCA = MRA. Тогда:

Решив систему уравнений получаем: QA = 10,95; ACA = 5,19; PA = 5,19; PB = 3,45.

№ 22. Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Р = 24 –1,5Q. Общие затраты монополии ТС = 50 + 0,3Q2. Определить максимально возможный объем прибыли монополии при продаже всей продукции по единой цене и при продаже выпуска партиями, первая из которых содержит 3 шт.

Решение:

Для определения MR2 необходимо учитывать сокращение спроса – укорочение линии функции спроса: P2 = 24 – 1,5(Q – 3); MR2 = 28,5 – 3Q, при Q = 6 величина MR2 = 10,5. Это означает, что третью партию нужно продавать по цене 10,5.

π = 3×(19,5 + 15 + 10,5) + 8,4 × 1,4 – 50 – 0,3×10,42 = 64,3.

№ 23. На рынке действуют 5 фирм, данные об объемах продаж, ценах и предельных затратах приведены в таблице.

Фирма	Объем продаж, тыс. шт	Предельные затраты, тыс. долл.
А		1,0
Б		1,5
В		2,0
Г		2,5
Д		3,0

Цена товара 8 тыс. долл. Определить коэффициента бета и эластичность спроса по цене.

Решение:

При решении задачи следует учесть, что индекс Лернера для фирмы (Li), который вычисляется как Li = (P – MC)/P, в соответствии с моделью связан линейной зависимостью с рыночной долей yi: Li = a +byi.

Дополнительные расчеты сведем в таблицу.

Для нахождения линейной зависимости между индексом Лернера и долей рынка в соответствии с методом наименьших квадратов необходимо составить систему их двух уравнений:

В условиях примера система уравнений примет вид:

Решив систему, находим, что a = 0,65; b = 0,5. Следовательно, β = 0,65/(0,65 + 0,5) = 0,56.

№ 24. Длина города равна 35 км. Магазин первого дуополиста расположен в точке А на расстоянии 4 км от левого конца города (точка М). Магазин второго – в точке В на расстоянии 1 км от правого конца города. Стоимость перевозки равно 1 ден. ед. на км. Дуополисты максимизируют выручку. Потребители проживают равномерно по всей длине города. Найти расположение точки Е, в которой проживает потребитель, затраты которого на покупку единицы товара (включающие транспортные расходы) одинаковы для обоих магазинов.

Решение:

Найдем расположение точки Е, в которой находится потребитель и где затраты на покупку единицы товара, включая транспортные расходы, одинаковы для обоих магазинов. Если через x и y обозначить расстояния от безразличного покупателя до первого и второго магазина соответственно, то условие безразличия примет вид: P1 + x = P2 + y и, кроме того:4 + 1 + x + y = 35.

Решив совместно эти два уравнения относительно x и y, получим:

x = 15 + 0,5(P1 – P2), y = 15 – 0,5(P2 – P1).

P1 – 0,5P2 – 19 = 0. (1)

Аналогично для второй фирмы, составив функцию выручки и взяв производную по P2 получаем:

– 0,5P1 + P2 – 16 = 0. (2)

Решив систему уравнений (1) и (2) находим цены: P1 = 36; P2 = 34. Тогда легко найти x и y: x = 15 + 0,5×2 = 16 км, y = 15 – 0,5×2 = 14 км.

Вопросы для обсуждения

1. Сравнение рынка монополии и рынка совершенной конкуренции. Понятие рыночной власти и ущерба от монополии.

2. Покажите разницу между поведением монополии в коротком и в длительном периодах на графической модели. Могут ли в длительном периоде в функции затрат присутствовать величины, не зависящие от объема выпуска?

3. Обсудите гомогенность и геторогенность товарных рынков. Могут ли существовать геторогенные товарные рынки в условиях чистой монополии?

4. Объясните, почему при максимизации выручки, прибыли и нормы прибыли монополией объемы выпуска различаются. Возможно ли при разных целевых установках максимизации этих параметров у фирм совпадение объемов выпуска? Покажите это графически.

5. Виды и особенности государственного регулирования рынка монополии. Сравнение с рынком совершенной конкуренции.

6. Почему в микроэкономическом анализе выделяют три основных типа ценовой дискриминации? Покажите сходство и различие ценовой дискриминации 1-й и 2-й степени.

7. Объясните, почему в модели естественной монополии предполагается возрастающая отдача от масштаба производства. Может ли в ситуации естественной монополии быть постоянная и убывающая отдача?

8. Монополистическая конкуренция как промежуточная рыночная структура: сходства и различия с совершенно-конкурентным рынком и рынком монополии в коротком и длительном периодах.

9. Сравните модели монополистической конкуренции Гутенберга и Чемберлина. В чем различие подходов в этих моделях.

10. Что произойдет в отрасли, если в моделях олигополии Курно и Штакельберга количество фирм будет расти?

11. Объясните, как устроена модель Бертрана и ответьте на вопрос: почему она описывает процесс ценовой войны. С чем связана скоротечность ценовых войн?

12. Ценовые ограничения для входа в отрасль: необходимые условия, потенциальные возможности картеля (монополиста), последствия для рынка.

Примение аналитическое геометрии и математического анализа в экономики (стр. 2 )

-3x + 12 = 2x + 2 + t,

t = 10 – 5x,

T = xt = x×(10 – 5x) = 10x – 5×2.

Находим максимум функции T:

T¢ = 10 – 10x = 0,

x =1,

T² = -10 < 0,

следовательно, x = 1 – точка максимума.

В точке x = 1 находим t = 5, T = 5. Следовательно, доход государства максимален при t = 5.

Задача 4

Функция общих затрат монополии имеет вид ТС = 200 + 30Q, функция спроса на ее продукцию Р = 60 – 0,2Q. Определить цену, при которой фирма максимизирует прибыль.

Решение

I = TR – TC, так как TR = Q × P,

то I = 60Q – 0,2Q2 – Q = 0,2Q + 30Q – 200,

I¢ = -0,4Q + 30,

I¢ = 0 Þ -0,4Q + 30 = 0, тогда Q = 75, значит Р = 60 – 0,2 × 75 = 45.

Задача 5

Функция суточного спроса Q на мороженое (тыс. шт.) в зависимости от цены Р за одну порцию (руб) имеет вид . Эффективная область «работы» этой формулы от 1 до 9 руб. При какой цене за порцию мороженого совокупная выручка будет максимальной?

Решение

Совокупная выручка определяется из соотношения TR = Q ×.P, где Q – количество реализованных порций мороженого (тыс. шт.); Р – цена за одну порцию (руб). Тогда функция совокупной выручки в зависимости от цены примет вид:

Требуется найти наибольшее значение этой функции на отрезке .

Для этого находим критические точки функции, принадлежащие данному отрезку:

Критическая точка Р = 4. Вычислим значение функции совокупной выручки на концах интервала и в критической точке:

TR(1) =. 1 = 2;

TR(4) =. 4 = 4;

TR(9) = 0.

Следовательно, при цене 4 руб за порцию совокупная выручка будет максимальной и составит 4000 руб.

Задача 6

Некоторая монополия продает свою продукцию на двух рынках, функции спроса на которых и , функция издержек ТС = Q2. Найти точку (Q1 и Q2), в которой значение функции прибыли I = P1Q1 + P2Q2 – TC(Q).

Решение

Составим функцию прибыли I = P1Q1 + P2Q2 – TC(Q) для этого найдем Р1 и Р2:

и ,

значит ,

Находим критические точки:

Q2 = 4Q1,

64= Q13 Þ Q1 = 4, Q2 = 16.

Следовательно Q1 = 4, Q2 = 16, I = 1200.

Задача 7

Объем продаж видеомагнитофонов задается следующей функцией времени:

V(t) = 5000 + 1000t -100t2,

где t – время, измеряемое в месяцах; V – количество видеомагнитофонов, проданных за месяц.

Найти скорость изменения объема продаж в момент времени:

а) t = 0; б) t = 2; в) t = 6.

Задача 8

Население некоторой страны растет по следующему закону:

P(t) = 100000 × (1 + t)2,

где время t измеряется в годах. Найти скорость изменения населения в момент времени:

а) t = 0; б) t = 2; в) t = 5.

Задача 9

Эпидемия медленно распространяется среди населения. Число заболевших определяется формулой:

где t – число недель, прошедших с момента начала эпидемии.

Найти скорость изменения числа заболевших в момент времени:

а) t = 1; б) t = 4; в) t = 9.

Задача 10

Предположим, что издержки получения питьевой воды заданы формулой:

где t – процентное содержание загрязняющих воду примесей.

Найти скорость изменения издержек производства, если примеси составляют 5 %.

Задача 11

Количество произведенной за день продукции Q(x) зависит от числа рабочих в сборочном цехе следующим образом:

Q(x) = 100х + Зх2,

где х – число рабочих.

а) Если в сборочном цехе работали 70 человек, оценить изменение

количества произведенной за неделю продукции, вызванное добавлением одного рабочего.

б) Найти точное значение прироста выработки за неделю, вызванного добавлением одного рабочего.

Задача 12

Месячное производство Q(x) некоторого продукта зависит от инвестиций следующим образом:

где х – инвестированный капитал в миллионах рублей.

Вычислить точно и приближенно прирост производства, вызванный дополнительным вложением 1 млн. руб, если первоначальные инвестиции

составляли 100 млн. руб.

Задача 13

Издержки производства некоторой продукции имеют вид:

С(х) = 100 + 3х + х2,

где х – число единиц продукции. Цена на этот товар составляет 20. Найти функцию предельной прибыли и ее значение в точке 30. Объяснить экономический смысл значения Р'(3О). Вычислить и объяснить смысл величины Р(31) — Р(30).

Задача 14

Издержки производства некоторой продукции имеют вид:

С(х) = 150 + 10х + 0,01х2,

где х – число единиц продукции. Цена на этот товар составляет 36. Найти функцию прибыли и функцию предельной прибыли. Объяснить экономический смысл величины Р'(15). Вычислить и объяснить смысл величины Р(16) — Р(15).

Задача 15

Функция издержек производства некоторой продукции определяется следующей формулой:

а) С(х) = 2000 + 10Ох + 0,1х2;

б) С(х) = 3500 + 150х + 0,2х2,

где х – число единиц произведенной продукции.

Найти функцию предельных издержек, средние издержки производства х единиц продукции и скорость изменения средних издержек. При каком уровне производства скорость изменения средних издержек равна нулю?

Задача 16

В гостинице 60 номеров. При цене 300 руб за номер в сутки бывает занято 50 номеров. Если цена снижается до 280 руб за номер, то занято 55 номеров. Найти максимальное значение выручки, предполагая линейным закон спроса. При какой цене достигается это значение?

Задача 17

Ресторан рассчитан не более чем на 100 посетителей. При цене 120 руб, за обед бывает 70 посетителей, а при цене 100 руб за обед число посетителей возрастает до 80. Фиксированные издержки приготовления обеда составляют 900 руб в день, а переменные – 40 руб за обед. Найти функцию прибыли, предполагая линейной зависимость между числом посетителей и ценой обеда. Каково максимальное значение прибыли?

Задача 18

Цена на некоторый товар составляет 250 руб. Издержки производства этого товара равны 120х + х2, где х – число единиц произведенного товара. Найти максимальное значение прибыли.

Задача 19

Издержки производства некоторой продукции определяются функцией 5×2 + 80x, где х – число единиц произведенной за месяц продукции. Эта продукция продается по цене 280 руб за изделие. Сколько изделий нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальна.

Задача 20

Пусть известны функции соответственно спроса и предложения на некоторый товар на конкурентном рынке:

р = 2х + 50,

р = — х + 200,

где х – число единиц товара.

Предположим, что средние издержки производства одной единицы товара определяются следующей функцией:

Найти максимальное значение прибыли.

Задача 21

Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 руб за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки составляет 5 недель?

Задача 22

Издержки производства некоторого товара равны ТС = 4 + 15Q; спрос на товар определяется, функцией Р = -Q2 + 20Q + 2; 10 < Q < 20.

Найти объем продукции Q, максимизирующий прибыль.

Задача 23

Компания нашла покупателя, согласного покупать у нее 20000 единиц некоторого товара в год. Подготовка к производству одной партии составляет 30 руб. Производство одной единицы товара обходится в 9 руб, а издержки хранения составляют 0,3 руб за единицу товара в год. Найти число единиц товара в партии, при котором совокупные издержки производства и хранения будут минимальны.

Задача 24

Компания должна произвести 96000 единиц продукции в год. Издержки подготовки к производству одной партии составляют 1500 руб, а издержки производства одной единицы продукции – 10 руб. Хранение обходится в 0,5 руб за единицу товара в год. Найти число единиц товара в партии, при котором совокупные издержки производства и хранения будут минимальны.

Задача 25

Функция спроса имеет вид:

а) Найти эластичность спроса в точке р = 50.

б) Посчитать приближенно процентное изменение спроса, если цена выросла на 11 %.

Задача 26

Уравнение спроса имеет вид:

а) Найти эластичность спроса в точке р = 18.

б) Вычислить приближенно процентное изменение спроса, если цена уменьшилась на 2 %.

Задача 27

Уравнение спроса имеет вид:

Найти эластичность и выяснить, как повлияет увеличение цены на

выручку, если спрос составляет:

а) 150 единиц; б) 50 единиц

Задача 28

Уравнение спроса имеет вид:

Найти эластичность и выяснить, как повлияет увеличение цены на выручку, если спрос составляет:

а) 24 единицы; б) 15 единиц.

Задача 29

Функция общих затрат фирмы имеет вид ТС = 100Q — 2Q2 + 0.04Q3. Определить величину предельных затрат фирмы при Q = 12 единиц.

Задача 30

Известно, что постоянные затраты фирмы равны 55 денежных единиц. Функция предельных затрат фирмы имеет вид МС = 22 — 8Q + 3Q3. Определить функцию общих затрат фирмы и рассчитать эти затраты при выпуске 3 единиц продукции.

Задача 31

Функция средних переменных затрат имеет вид AVC = 10 + 2Q. Постоянные затраты равны 12 ден. един. Найти алгебраическое выражение для функций общих и предельных затрат.

Задача 32

Функция общих затрат предприятия имеет вид ТС = 30 + 5Q + Q2. Определить выражение для постоянных, переменных, предельных, средних, общих, средних постоянных и средних переменных затрат как функции от Q. При каком значении Q средние общие затраты достигают минимума?

Задача 33

Известно, что постоянные затраты фирмы составляют 80 денежных единиц. Функция предельных затрат имеет вид МС = 30 — 10Q + 6Q2 +1,6Q3. Определить функцию общих затрат фирмы и рассчитать эти затраты при выпуске трех единиц продукции.

Задача 34

Функция спроса населения на данный товар имеет вид Qd = 14 — 2Р, функция предложения данного товара Qs = -4 + 2Р. Определить ставку налога, при которой равновесный объем продаж составит две единицы.

Задача 35

Функция спроса населения на данный товар Qd = 10 — Р, функция предложения данного товара Qs = -5 + 2Р. Предположим, что на данный товар введен налог, уплачиваемый продавцом, в размере трех денежных единиц за штуку. Определить величину чистых потерь, обусловленных введением налога.

Задача 36

Функция спроса населения на данный товар Qd = 7 — Р, функция предложения данного товара Qs = -5 + 2Р. При какой ставке налога общая сумма налога окажется максимальной?

Задача 37

Функция спроса населения на данный товар имеет вид Qd = 8 — Р, а функция предложения данного товара Qs = -5 + 2Р. Предположим, что на данный товар введен налог, уплачиваемый продавцом, в размере одной денежной единицы. Определить: а) цену для покупателя и цену для продавца с учетом налога; б) общую сумму вносимого в бюджет налога.

Задача 38

Монополия максимизирует выручку при целевой прибыли не ниже 1500 млн. руб. Известны функция спроса на продукцию монополиста Р = 304 — 2Q и функция затрат ТС = 500 + 2Q + 8Q2. Определить оптимальный объем выпуска при данной прибыли и выпуск, при котором прибыль монополии максимальна.

Задача 39

Фирма находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат имеет вид ТС = 0,1Q2 + 15Q + 10. Какой объем производства продукции выберет фирма, если цена товара двадцать пять денежных единиц.

Задача 40

Фирма выпускает товар и продает его по цене четырнадцать денежных единиц. Функция общих издержек фирмы ТС = 2Q + Q3. При каком объеме выпуска прибыль фирмы будет максимальна.

Задача 41

1) максимальное количество продукции;

2) средний продукт труда;

3) допустим, что фирма увеличила затраты обоих факторов в два раза. Каков будет объем выпускаемой продукции?

Задача 42

Монополия владеет двумя предприятиями, функция затрат которых дана: ТС1 = 10Q1, ТС2 = 0,2Q22. Функция спроса на продукцию монополиста Q = 200 – 2Р. Определить оптимальную для монополиста цену.

Задача 43

Функция затрат монополии имеет вид ТС = 5Q + 0,25Q2. Монополия торгует на двух рынках, функция спроса на которых Q1 = 160 – Р1; Q2 = 160 – Р2. Определить цены на каждом рынке, при которых прибыль монополии будет максимальной.

Задача 44

Предположим, что производственная функция фирмы имеет вид: . Если количество применяемого труда возрастает на 8 %, а капитала на 4 %, то на сколько увеличится объем выпуска?

3. Применение интегрального исчисления

Интегрирование используется для нахождения функций издержек, прибыли, потребления, если известны соответственно функции предельных издержек, предельной прибыли и т. д. Для определения произвольной постоянной интегрирования необходимо дополнительное условие. Если находится функция издержек, используется то, что ее значение в точке х = 0 (х – число единиц произвольной продукции) равно значению фиксированных издержек, а при определении функции дохода – то, что ее значение в точке х = 0 равно нулю (доход равен нулю, если не продано ни одного изделия).

Задача 1

Задана функция предельного дохода:

R'(x) = 20 — 0,04х.

Найти функцию дохода и закон спроса на продукцию.

Решение

R(0) =0, следовательно, С = 0,

R(x) = 20 x — 0,02×2.

Если каждая единица продукции продается по цене р, то доход определяется формулой R = хр. Следовательно, деля на х функцию дохода, находим закон спроса р(х):

р =,02х.

На рис. 9 показан пример графика функции у = f(x). Эта кривая называется кривой Лоренца. Если бы распределение доходов было совершенным, то 10 % населения получали бы 10 % совокупного дохода, 20 % населения – 20 % дохода и т. д. Тогда кривой распределения доходов была бы прямая у = х. Отклонение реального распределения доходов от идеального измеряется отношением L площади между прямой у = х и кривой Лоренца к площади, ограниченной прямыми у = х; х = 1 и осью х, и называется коэффициентом неравномерности распределения доходов

Очевидно, что 0 £ L £ 1. Зна-чение L = 0 соответствует совер-шенному распределению доходов.

Кривая обучения. Часто необходимо оценить, сколько вре-мени потребуется для производства некоторого дополнительного коли-чества продукции. Для подобных расчетов пользуются так назы-ваемой кривой обучения.

где а > 0, -1 < b < 0.

График функции такого вида изображен на рис. 10 и называется кривой обучения.

Функция f(x ) – убывающая, так как время, необходимое для выполнения некоторой операции, убывает при возрастании числа повторов.

Время ΔT, необходимое для производства единиц продукции с номерами от п1 до п2, определяется формулой:

Задача 2

После сборки 100 часов оказалось, что в дальнейшем время убывает в соответствии с формулой у = 15х -0,14. Найти время, которое потребуется для сборки еще 20 часов (т. е. с номера 101 до номера 120).

Решение

Выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков. Пусть р = f(x) – кривая спроса D на некоторый товар и р = g(x) – кривая предложения S; А(х0, р0) – точка рыночного равновесия (рис. 11). Некоторые потребители могут заплатить за этот товар цену р > р0. Найдем выигрыш потребителей от установленной цены р0. Разобьем отрезок на п частей и обозначим точки разбиения:

На каждом интервале выберем точку . Выигрыш потребителей на этом отрезке равен:

(р × (х1*) – р0)×Δхi,

где .

Суммируя все выигрыши, получаем:

Если функция спроса непрерывна и п ® ¥, а длина максимального отрезка разбиения max ½Δх½ ® 0, то эта интегральная сумма имеет предел, равный:

Таким образом, выигрыш потребителей:

Аналогично находится выигрыш поставщиков:

Очевидно, что выигрыш потребителей равен площади, заключенной между кривой спроса D и прямой р = ро. Выигрыш поставщиков равен площади, заключенной между прямой р = ро и кривой предложения S (см. рис. 11).

Задача 3

Известны законы спроса и предложения:

р = 116 – х 2,

Найти выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков, если было установлено рыночное равновесие.

Решение.

Найдем точку рыночного равновесия:

откуда – не удовлетворяя

Среднее значение. Среднее значение непрерывной функции на промежутке находится по формуле

Среднее значение функции используется при вычислении налога на имущество предприятия. Величина налога

где k – коэффициент, зависящий от вида предприятия; f(c) – среднее значение стоимости имущества за год; – промежуток времени, равный году.

Интеграл вычисляется приближенно по формуле трапеций с разбиением года на 12 месяцев:

где f(0) – стоимость имущества на 1 января; f(1) – стоимость имущества на 1 февраля; … f(11) – стоимость имущества на 1 декабря; f(12) – стоимость имущества на 1 января следующего года.

Задача максимальной прибыли. В ряде отраслей промышленности, например в горнодобывающей, после некоторого момента времени прибыль начинает убывать. В этом случае необходимо найти момент времени, в который прибыль принимает максимальное значение, и своевременно остановить производство.

Задача 4

Скорости изменения издержек и дохода во времени имеют следующий вид:

С¢(t) = 2 + t,

R¢(t) = 17 – 2t.

Найти максимальное значение прибыли, которое можно получить от этого производства. Когда производство следует остановить?

Решение

P¢(t) = R¢(t) — C¢(t) = 17 – 2t – 2 = 15 – 3t,

R¢(t) = 0 при t = 5,

P²(5) = -3 < 0, следовательно, t = 5 – точка максимума,

Изменение капитала. Если I(t) – скорость изменения инвестиций, а A(t ) – капитал предприятия, то:

Зная скорость изменения инвестиций, можно найти изменения капитала по формуле:

Задача 5

Функция предельных издержек имеет вид:

С'(х) = 50 + 0,02х.

а) Найти функцию издержек, если фиксированные издержки составляют 2500 руб в месяц.

б) Каковы издержки производства 250 изделий в месяц?

в) Если продукция продается по цене 75 руб за изделие, сколько нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной?

Задача 6

Функция предельных издержек некоторого предприятия имеет вид: С'(х) = 60 — 0,04х + 0,00Зх2.

а) Найти функцию издержек, если издержки производства 100 единиц продукции составляют 7000 руб.

б) Найти фиксированные издержки.

в) Каковы издержки производства 250 единиц продукции?

г) Если цена составляет 65,5 руб за единицу продукции, найти максимальное значение прибыли.

Задача 7

Функция предельных издержек имеет вид:

С'(х) = 60 + 0,04х.

Фиксированные издержки составляют 1800 руб в месяц, а цена одного изделия равна 80 руб.

а) Найти переменные издержки.

б) Каковы издержки производства 150 изделий?

в) Найти приращение прибыли, если объем производства вырос со 150 до 200 изделий.

Задача 8

Функция предельного дохода некоторого предприятия имеет вид:

a) R'(х) =20 — 0,02х, б) R'(х) =,04х — 0,003х2.

Найти функцию дохода. Найти уравнение спроса.

Задача 9

Функция предельной прибыли имеет вид:

Р'(х) =,004х.

Прибыль предприятия составляет 35800 руб, если продано 1200 изделий. Найти функцию прибыли.

Задача 10

Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренса:

а ) у = 0,87х2 + 0,13х; 6) у = 0,96х2 + 0,04х.

Какую часть дохода получают 8 % наиболее низко оплачиваемого населения? Посчитать коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода.

Задача 11

Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид:

Р = 112 — х2.

Найти выигрыш потребителей, если равновесная цена равна 90.

Задача 12

Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид:

Найти выигрыш потребителей, если равновесное количество товара равно 10.

Задача 13

Функция совокупных издержек монополии и уравнение спроса на этот товар имеют следующий вид:

а) С(х) = 900 + 40х + 5х2; б) С(х) = 400 + 30х + х2;

р = х — 2х2; .

Найти выигрыш потребителей в точке, где монополия имеет максимальную прибыль.

Задача 14

Функция совокупных издержек производства некоторой продукции имеет вид:

С(х) = 1000 + 2х + 0,004х2.

Найти среднее значение издержек при изменении объема производства от 100 до 200 единиц.

Задача 15

Найти прирост капитала предприятия на данном промежутке времени, если скорость изменения инвестиций имеет следующий вид:

а) , 9 £ t £ 16;

б) , 0 £ t £ 1.

4. Применение дифференциальных уравнений

Эластичность и функция спроса. Если известна эластичность спроса на некоторый товар, то можно найти функцию спроса.

Задача 1

Эластичность для любых значений р. Найти функцию спроса.

Решение

Пользуясь определением эластичности:

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируем и получаем уравнение спроса:

px3 = C.

Примечание. Для определения С нужна дополнительная информация.

Функции спроса и предложения. В простейших случаях предполагается, что спрос и предложение на рынке зависят только от цены товара. В более сложных моделях учитывается их зависимость и от изменения цены, т. е. от производной. При этом для определения равновесной цены используется дифференциальное уравнение.

Задача 2

Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:

Найти зависимость равновесной цены от времени t, если в начальный момент времени цена р = 20.

Решение

, ,

, , ,

Подставляя начальное условие, находим С:

, , – решение задачи (рис. 12).

Так как , имеет место устойчивость. Если то равновесная цена растет и имеет место инфляция.

Задача 3

Найти функцию спроса, если эластичность h постоянна и задано значение цены p в некоторой точке x:

а) h = -2, p = 10 при x = 4; б) p = 15 при x = 1;

в) p = 5 при x =2; г) h = -3, p = 2 при x = 27.

Задача 4

В городе с населением 3000 чел. распространение эпидемии гриппа подчиняется уравнению

где у – число заболевших в момент времени t. Через какое время заболеет 70 % населения, если в начальный момент времени было трое больных?

Задача 5

Численность населения y(t) некоторой страны удовлетворяет дифференциальному уравнению:

где время t измеряется в годах. В начальный момент времени население составляло 1000 чел. Через сколько лет население возрастет в четыре раза?

Задача 6

Пусть функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:

а) Найти зависимость равновесной цены от времени, если p = 10 в момент времени t = 0.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

Общие, средние и предельные величины выручки и издержек

3. Общие, средние и предельные величины выручки и издержек

валовый выручка издержки

Общие (валовые) издержки – это сумма постоянных и переменных издержек при заданных объемах производства, это сумма денежных расходов на производство определенного объема продукции. Поскольку общие издержки состоят из двух слагаемых, во времени они изменяются неравномерно. Через общие издержки определяются затраты предприятия.

Средние издержки – это издержки на единицу производимой продукции. Средние издержки помогают определить прибыльность фирмы и скорректировать политику ценообразования. Если цена продукта равна средним издержкам, то прибыль отсутствует. Если цена больше средних издержек, то фирма получает прибыль, равную этой разнице. Если цена меньше средних издержек, то фирма несет убытки.

Средние издержки делятся:

на средние постоянные издержки – это издержки, величина которых определяется путем деления общих постоянных издержек на количество выпущенной продукции. Размер постоянных издержек не зависит от объема выпущенной продукции, поэтому с ростом объема производства величина средних постоянных издержек снижается;

средние переменные издержки – это издержки, величина которых определяется путем деления общих (суммарных) переменных издержек на соответствующее количество произведенной продукции. Поскольку переменные издержки зависят от объемов производства, то с ростом объема производства сумма средних переменных издержек возрастает;

средние общие (валовые) издержки – это издержки, определяющиеся путем деления общих (валовых) издержек на количество произведенной продукции либо путем суммирования средних постоянных и средних переменных издержек. Вначале средние валовые издержки высокие. По мере увеличения объема производства они снижаются и достигают минимума, а затем снова начинают расти.

Предельные издержки – это дополнительные издержки на производство каждой дополнительной единицы продукции. Они равны приросту переменных издержек, если предполагается, что постоянные издержки неизменны.

Предельные издержки носят переменный характер, в связи с этим они являются предельными переменными издержками (затратами).

Предельные издержки служат для анализа объема производства и стратегии поведения фирмы, их рассчитывают для определения максимального выпуска продукции, который может осуществлять фирма.

Общая (валовая) выручка – это сумма денег, полученная от реализации всего объема продукции.

Предельная выручка – это дополнительная выручка, возникающая при увеличении производства на единицу продукции. Отрицательное значение предельной выручки свидетельствует о нерентабельности выпуска данного вида продукции.

Сопоставление суммы предельных издержек с суммой предельной выручки является неотъемлемой частью анализа принятых управленческих решений, так как позволяет избежать убытков. Имеет смысл расширять производство, только пока каждая дополнительная произведенная единица продукции будет давать дополнительный доход, т.е. предельные издержки будут меньше предельной выручки.

В момент, когда предельные издержки будут равны предельной выручке, следует останавливать увеличение объемов производства. При этом состояние, когда предельные издержки равны предельной выручке и в то же время они равны рыночной цене товара, называется равновесием конкурентной фирмы.

4. Фактор времени и дисконтирования

Время в экономике можно охарактеризовать как выражение упорядоченно необратимой последовательности экономических событий и способ восприятия и представления ее в экономической деятельности и познании. Кроме того, время в экономической деятельности человека приобретает дополнительную функцию, т.е. возможности изменения способов производства, варьирующих в зависимости от того, сколько времени потребуется фирме, чтобы отреагировать на изменения в рыночной конъюнктуре. Чтобы определить степень влияния каждого вида ресурсов на динамику выпуска продукции, в экономической теории используется анализ производственной функции во временных периодах.

При анализе производственных функций различают краткосрочные и долгосрочные периоды. Различия между данными понятиями заключаются в возможности изменения производственных мощностей. В краткосрочный период появляется возможность повысить степень использования производственных мощностей, но в то же время невозможно ввести в строй новые производственные мощности. В долговременном периоде возможно расширение производственных мощностей.

Особенность краткосрочного периода заключается в том, что в нем наблюдается деление издержек на постоянные и переменные. К переменным издержкам относятся денежные затраты на покупку сырья, материалов, затраты на оплату труда рабочих и т.п.

К постоянным издержкам в краткосрочном периоде относятся затраты на оплату труда аппарата управления, арендная плата, амортизация основных средств.

Особенность долгосрочного периода – в том, что фирма имеет возможность закупать не только большее количество сырья, материалов или увеличивать количество рабочих мест на предприятии, но и осуществлять капиталовложения. Таким образом, в длительном периоде все издержки являются переменными.

Время в экономике обусловливает необратимость экономических процессов. Например, если принята неэффективная технология, то переход на более эффективную технологию, т.е. возвращение назад, будет сопровождаться огромными издержками.

Время вызывает подвижность экономических процессов. Субъективные оценки в экономических расчетах имеют свое практическое значение, которое нашло выражение и в разграничении двух типов экономических величин: фактических и. ожидаемых (предполагаемых). Данное разграничение было введено шведским экономистом Г. Чюрдалем, оно прояснило проблему соотношения сбережений и инвестиций. Предположение о тождественности этих величин, которое было привычно для экономистов, справедливо только тогда, когда речь идет о фактических данных за прошедший период.

Однако данное положение неоправданно в отношении ожидаемых уровней данных величин. Это обстоятельство объясняется тем, что решения о сбережениях и инвестициях принимается разными группами агентов независимо друг от друга.

Следует также учитывать, что фактор времени может иметь место и в других случаях. Примером тому может служить дисконтирование экономических параметров в деловых и прогнозных расчетах. Дисконтирование экономических параметров представляет собой соизмерение текущих расходов с потоками будущих доходов.

Дисконтирование экономических параметров осуществляется в целях определения, выгодно ли вкладывать капитал в настоящее время, для того чтобы получить доход в будущем. При дисконтировании экономических параметров необходимо прежде всего определить, сколько нужно заплатить за оборудование сейчас (произвести расчет необходимых затрат), для того чтобы получить через определенный период времени ожидаемый доход (прибыль от вложений), т.е. определить дисконтированную стоимость.

5. Эффект масштаба производства

Эффект масштаба производства – это экономическое явление, обусловленное поведением издержек в долгосрочном периоде.

Наращивание производственных мощностей протекает достаточно долго, поэтому в краткосрочном периоде мощности производства условно считаются неизменными. Однако в долгосрочном периоде времени рост масштабов производства очень хорошо заметен, и к тому же любые издержки предприятия, даже постоянные, выступают как переменные.

Расширение производственных мощностей приводит к сокращению средних общих издержек на единицу продукции, но затем издержки начинают расти. Это связано с положительным и отрицательным эффектами роста масштабов производства.

Эффект масштаба производства может проявляться к двух формах: положительный эффект масштаба; отрицательный эффект масштаба.

Положительный эффект масштаба производства проявляется в увеличении размеров производства, в специализации труда работников на производстве и управленческого персонала, в применении масштабных технологий, в производстве побочных продуктов из отходов, в экономии материальных ресурсов благодаря новейшим технологиям. Положительный эффект масштаба производства вызываем уменьшение средних издержек.

Отрицательный эффект масштаба производств обусловлен управленческими трудностями на предприятиях, противоречивыми интересами отдельных структурных под разделений фирмы, сбоями в координации решений и указаний, а также в пропорциях развития подразделений фирмы, снижением гибкости реакции на изменение рынка. Отрицательный эффект масштаба производства характеризуетется застоем на предприятии или даже убыточностью. Отрицательный эффект состоит в том, что при увеличении масштабов производства средние издержки увеличиваются.

Обычно положительный эффект масштаба производства сменяется отрицательным, так как у издержек имеется предел, за которым наступает перелом и возникает отрицательный эффект. Но отрицательный эффект масштаба производства не всегда сразу же сменяет положительный эффект. Между ними может быть зона постоянной отдачи от роста размеров производства, где средние общие издержки будут неизменны, т.е. на каждый процент прироста ресурсов будет возрастать соответственно и производство.

Учитывая данные моменты отдачи от масштабов производства, можно осуществлять производство высококачественных товаров без значительных издержек.

Список литературы

2. Ломакин В.К. Экономика. Учебник для вузов. – М.: Юнити, 2008.

3. Мировая экономика / Под редакцией проф. А.С. Булатова. – М.: Юристъ, 2007.

4. Нухович Э.С., Смитиенко Б.М., Эскиндаров М.А. Экономическая теория на рубеже 20–21 веков. – М.: Финансовая академия, 2005.

5. Пузакова Е.П. Экономика. – Ростов – на – Дону: Феникс, 2008.

6. Спиридонова И.А. Экономическая теория. Учебное пособие. – М.: Инфра-М, 2007.

Информация о работе «Выручка и издержки» Раздел: Экономика
Количество знаков с пробелами: 15138
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

4. Понятие дохода. Общий, средний и предельный доход

Реализуя свою продукцию, фирма получает доход, или выручку.

Доход – это сумма денег, получаемая фирмой в результате производства и реализации благ или услуг за определенный период времени. Величина дохода, его изменение свидетельствуют о степени эффективности деятельности фирмы.

Различают общий, средний и предельный доход.

Общий (валовой) доход (TR) есть общая сумма денежной выручки, полученная фирмой в результате реализации произведенной ею продукции. Он рассчитывается по формуле: ТR = Р  Q, гдеР– цена реализации единицы продукции;Q– количество единиц произведенной и реализованной продукции.Как видим, величина общего дохода при прочих равных условиях зависит от объема выпуска и цен реализации.

Средний доход (AR) – это величина денежной выручки, приходящаяся на единицу реализованной продукции. Он рассчитывается по формуле: АR = TR / Q = (P  Q) / Q = Р. Расчет среднего дохода обычно применяют при изменяющихся ценах в течение какого-то временного интервала или в тех случаях, когда ассортимент выпускаемой фирмой продукции состоит из нескольких или множества товаров или услуг.

Предельный доход (MR) есть приращение валового дохода, полученное в результате производства и реализации дополнительной единицы продукции. Он рассчитывается по формуле МR =  TR / Q,гдеТR – прирост валового дохода в результате реализации дополнительной единицы продукции;Q – прирост объема производства и реализации на единицу.

Сравнение предельного дохода и предельных издержек для товаропроизводителя имеет важное значение в выработке им своей хозяйственной политики.

5. Прибыль фирмы: понятие и виды

От величины дохода в значительной степени зависит прибыль фирмы.

Прибыль представляет собой разность между общей выручкой и общими издержками, то есть π= TR – TC, гдеπ– прибыль.Фирма может рассчитать общую прибыль (ТR–ТС), среднюю прибыль (AR – ATC) и предельную прибыль (MR – MC).

Так как существуют бухгалтерские и экономические издержки, то и прибыль бывает бухгалтерская и экономическая.

Бухгалтерская прибыль – разность между общей выручкой и внешними (бухгалтерскими) издержками. Напомним, что к последним относят явные, фактические издержки: заработную плату, затраты на топливо, энергию, вспомогательные материалы, проценты по ссудам, арендную плату, амортизацию и т.д.

Экономическая прибыль – это часть дохода фирмы, которая остаётся после вычитания из дохода всех издержек: явных (внешних) и неявных (внутренних), то есть экономических издержек. Экономическую прибыль ещё называют чистой прибылью.

Экономическая прибыль есть определенный излишек совокупного дохода над экономическими издержками. Ее наличие заинтересовывает производителя именно в данной сфере бизнеса. В то же время она побуждает другие фирмы к вступлению в эту сферу.

Сущность экономической прибыли можно объяснить новаторством предпринимателя, применением им инновационных решений в хозяйственных делах, его готовностью нести всю полноту ответственности за принимаемые экономические решения. Поэтому порой саму прибыль определяют как плату за риск.

В зависимости от того, как соотносятся доход и издержки, прибыль фирмы сможет быть положительной (TR>ТС), нулевой (TR=ТС) и отрицательной (TR<ТС). Положительная прибыль означает, что фирма добилась самоокупаемости. Все издержки производства стали возмещаться полученным доходом.

Нулевая (нормальная) прибыль – это доход, возмещающий минимальные затраты предпринимательского фактора после того, как предприниматель возместил все издержки производства. Ранее отмечалось, что именно эта прибыль удерживает предпринимателя в данной сфере деятельности. Однако в этом момент еще нет экономической прибыли.

Отрицательная прибыль означает, что фирма несет убытки. За счет выручки она только частично покрывает издержки производства.

СВ-Принт

Средняя выручка

Типовые задачи с решениями. № 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли

Примение аналитическое геометрии и математического анализа в экономики (стр. 2 )

Общие, средние и предельные величины выручки и издержек

Похожие работы

4. Понятие дохода. Общий, средний и предельный доход

5. Прибыль фирмы: понятие и виды

Добавить комментарий Отменить ответ